前言

这应该是本人看到的最为清晰的张量解释,强烈建议观看原视频

原视频地址:https://www.youtube.com/watch?v=f5liqUk0ZTw

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作者:White Pillow

链接:https://www.zhihu.com/question/23720923/answer/32739132

来源:知乎

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正文

Dan Fleisch是《A Student’s Guide to Vectors and Tensors》的作者,他发现很大一部分读者都有一个疑问:到底张量是什么东西呢? (What’s a tensor? )

于是乎就做了这个视频,用12分钟来告诉你张量是什么。

想要了解张量(Tensor),首先需要对向量(Vector)有一个清晰的了解。

在我们的课本中,向量通常都是这样一个箭头……用来表示一个既有幅度(magnitude)又有方向(direction)的物理量,比如重力、磁力或者一个粒子的速度。这个箭头的长度表示幅度,箭头的指向表示方向。

此外,向量还可以用来表示一个平面,表示方法就是让向量代表垂直于这个平面的方向(法线方向)。

这么看来,向量可以表示很多东西:表示力、速度甚至平面,不过仔细想想向量也只表示了幅度(magnitude)与方向(direction)两个要素而已。

还有很多物理量用向量是没法表示的(后面会提到),向量其实是一个更广泛的表示方法的特例。对的,你猜对了,这个更广泛的方法就是张量(Tensor)。

为了更好的解释张量是什么,有两个概念需要先搞清楚: 分量 (Components) 与基向量 (Basis Vectors)。

为了搞清楚这个两个概念,我们要引入坐标系……

这里我们引入的是最常见的笛卡尔坐标系(Cartesian coordinate system)

说道坐标系,就一定要想到坐标系的基向量(coordinate basis vector)也称作unit vector,我们用这个小箭头来表示基向量。

基向量的长度是”1”,是你用来描述长度的基础单位。

基向量的方向是你的坐标系的坐标的方向。

在这个坐标系中,在x,y,z轴方向分别有三个基向量。

现在我们有了坐标系(coordinate system)与基向量(basis vector),接下来可以确定分量(components)了。

在这个例子中,那个大箭头向量由4个x基向量,3个y基向量与0个z基向量构成。

所以我们可以用4个x,3个y,0个z来表示那个大箭头向量。

大箭头可以拿走了,现在只需要3个数字(方块,注意方块上写着数字)与3个基向量(小箭头),我们就可以完全还原出大箭头的信息了。

如果大家默认使用同一套基向量,那么基向量(小箭头)都不需要了,我们只需要4,3,0这三个数字(方块)就可以表示那个向量。

这三个数字(方块)就是向量的分量(components)。

此时,想要表示一个向量,只要给定这三个分量即可,它们怎么排列都可以,你也可以把他们立起来。

如果加上两个括号,这就是我们在书上经常看到的向量的列表示

总结一下,刚才那个桌子上的大箭头可以用这3个分量(components)与3个基向量(basis vector)表示。

推广一下,对于一个向量A来说,我们用Ax, Ay, Az来表示这三个分量,分别对应向量A在x,y,z基向量方向上的分量。

注意每个分量只有一个下标,因为每个分量只由一个基向量构成(one basis vector per component),所以向量也称为1阶张量(Tensors of rank 1)。

相应的,标量(scalar)也称为0阶张量(Tensors of rank 0),因为标量没有方向,因此也就不存在基向量,可以说标量的每个分量是由0个基向量构成的。

下面来看更高阶的张量。

这是一个在3维空间中的2阶张量。

回顾一下,向量有3个基向量与3个分量。

而现在这里有9个基向量(那些小箭头)与9个分量(那些方块)。

注意现在每个分量有两个下标(例:Axy),而不是之前的一个了。

为什么要用两个下标呢?考虑这个例子:固体物体中某点的受力情况。

想象在该物体里有一个平面,这个平面的朝向需要用一个向量来表示,为了表示该向量需要引入1组(3个)基向量;

在每个平面上又有一个力,这个力则需要用第二个向量来表示,这样对于第一组中每个基向量又引入了第2组(3个)基向量与之组合。

于是就有了桌子上的那3*3个基向量组合。

如果想要表示所有的平面与平面上的力的组合,需要9个分量,每个分量有2个下标(index)来表示该分量由哪两个基向量组合构成。

例:Axx表示在法线为x方向的平面上的方向为x方向的力。

这9个分量与9个基向量共同组成了2阶张量。

继续进一步,这是一个3维空间中的3阶张量。

这个张量有27个基向量与27个分量。

现在每个分量有3个下标,所有的下标组合共有3*3*3=27个,故共有27组基向量(见桌子上那3堆箭头方阵),不同基向量对应一个分量(那堆方块)。

现在可以做一个总结了,什么是张量以及为什么张量这么有用呢?

张量是一种表示物理量的方式,这个方式就是用基向量与分量组合表示物理量(Combination of basis vector and component)。

由于基向量可以有丰富的组合,张量可以表示非常丰富的物理量。

此外,张量所描述的物理量是不随观察者或者说参考系而变化的,当参考系变化时(其实就是基向量变化),其分量也会相应变化,最后结果就是基向量与分量的组合(也就是张量)保持不变。

考虑到张量有如此强大的表示能力,又不随观察者不同而变化,能够有效的表示宇宙间的万物,Lillian R. Lieber给了张量一个形象的称呼the fact of the universe.

说点什么吧...